Ο αγαπημένος αριθμός 9, οι περιοδικοί δεκαδικοί και μερικές κρυμμένες «πρωτότυπες ιδέες»
Στο δεκαδικό μας σύστημα όλα γυρίζουν γύρω από το 10 — αλλά ένας άλλος «ήρωας στο παρασκήνιο» είναι το ψηφίο 9. Εμφανίζεται συνεχώς στις εκφράσεις επαναλαμβανόμενων δεκαδικών, στα κλάσματα του τύπου \(1/9, 1/99, 1/999\) και σε περίεργες αριθμητικές ταυτότητες.
Σε αυτό το άρθρο θα δούμε:
- γιατί το \(0{,}999\ldots = 1\),
- γιατί τόσα πολλά κλάσματα με παρονομαστή γεμάτο 9 δίνουν περιοδικά δεκαδικά,
- πώς να μετατρέπουμε κάθε περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα,
- μερικές «πεντανόστιμες» αριθμητικές πρωτότυπες ιδέες με το ψηφίο 9.
1. Το «σκανδαλώδες» \(0{,}999\ldots = 1\)
Η ισότητα
$$ 0{,}999\ldots = 1 $$
ξαφνιάζει πολλούς μαθητές (και ενήλικες!). Κι όμως, η εξήγηση είναι πολύ πιο απλή απ’ όσο φαίνεται.
1.1 Ένα καθαρά δεκαδικό επιχείρημα
Σκεφτείτε το σύνολο όλων των δεκαδικών αριθμών μεταξύ \(0{,}999\ldots\) και \(1\).
- Οποιοσδήποτε αριθμός μικρότερος του 1 έχει σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο κάτι μικρότερο από 9.
- Στον αριθμό \(0{,}999\ldots\) όλα τα δεκαδικά ψηφία είναι 9.
Αν υπήρχε αριθμός \(x\) με
$$ 0{,}999\ldots < x < 1, $$
τότε σε κάποια δεκαδική θέση του \(x\) θα έπρεπε να εμφανιστεί ψηφίο μικρότερο από 9, άρα το \(x\) δεν θα μπορούσε να είναι μεγαλύτερο από \(0{,}999\ldots\). Αντίφαση.
Άρα δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός ανάμεσά τους και τελικά
$$ 0{,}999\ldots = 1. $$
1.2 Το επιχείρημα με τις γεωμετρικές σειρές
Γράφουμε:
$$ 0{,}999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots $$
Αυτό είναι γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο \(a = \frac{9}{10}\) και λόγο \(r = \frac{1}{10}\). Γνωρίζουμε ότι:
$$ a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r}, \quad |r|<1 .="" p="">
Επομένως:
$$ 0{,}999\ldots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1. $$
2. Μια «μαγική» πίνακα διαίρεσης με 9
Το ψηφίο 9 εμφανίζεται παντού όταν διαιρούμε το 1 με αριθμούς της μορφής \(9, 99, 999, 9999, \ldots\).
| Κλάσμα | Δεκαδική μορφή |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{1}{9}\) | \(0{,}111\ldots\) |
| \(\displaystyle \frac{1}{99}\) | \(0{,}010101\ldots\) |
| \(\displaystyle \frac{1}{999}\) | \(0{,}001001001\ldots\) |
| \(\displaystyle \frac{1}{9999}\) | \(0{,}000100010001\ldots\) |
Παρατηρούμε το μοτίβο:
- Στο \(\frac{1}{9}\) η περίοδος είναι το ψηφίο 1.
- Στο \(\frac{1}{99}\) η περίοδος είναι «01».
- Στο \(\frac{1}{999}\) η περίοδος είναι «001».
Γενικά:
$$ \frac{1}{\underbrace{99\ldots 9}_{k\ \text{ψηφία}}} = 0,\underbrace{00\ldots 01 00\ldots 01 \ldots}_{\text{κάθε περίοδος έχει μήκος }k}. $$
Πώς συνδέεται αυτό με το \(0{,}999\ldots = 1\);
Ξεκινάμε από:
$$ 1 = 0{,}999\ldots $$ $$ 1 = 9 \cdot 0{,}111\ldots $$
Άρα:
$$ \frac{1}{9} = 0{,}111\ldots $$
Αντίστοιχα:
$$ 1 = 99 \cdot 0{,}010101\ldots \Rightarrow \frac{1}{99}=0{,}010101\ldots $$
3. Πώς περνάμε από ένα περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα
Έστω ένα καθαρά περιοδικό δεκαδικό, π.χ.
$$ x = 0{,}434343\ldots $$
Η περίοδός του είναι «43», άρα έχει 2 ψηφία. Αν πολλαπλασιάσουμε με \(10^2 = 100\), η υποδιαστολή «μετακινείται» δύο θέσεις:
$$ 100x = 43{,}434343\ldots $$ $$ x = 0{,}434343\ldots $$
Αφαιρώντας:
$$ 100x - x = 43{,}434343\ldots - 0{,}434343\ldots = 43 $$ $$ 99x = 43 \Rightarrow x = \frac{43}{99}. $$
Αυτό δίνει τον γνωστό κανόνα:
- Γράφουμε τους αριθμούς της περιόδου σαν ακέραιο.
- Διαιρούμε με έναν αριθμό που έχει τόσα 9 όσα ψηφία έχει η περίοδος.
Για παράδειγμα:
- \(0{,}7\overline{3} = 0{,}7333\ldots = \dfrac{73}{99}\)
- \(0{,}\overline{527} = 0{,}527527\ldots = \dfrac{527}{999}\)
Μικρή άσκηση
Βρείτε κλάσμα για τα:
- \(0{,}\overline{81}\)
- \(0{,}\overline{09}\)
- \(0{,}\overline{123}\)
4. Μια εντυπωσιακή «ακολουθία» δεκαδικών
Ο αριθμός
$$ 0{,}012345679 $$
είναι διάσημος: περιέχει όλα τα ψηφία από 0 έως 9 εκτός από το 8. Αν τον πολλαπλασιάσετε με 9, θα δείτε:
$$ 0{,}012345679 \times 9 = 0{,}111111111. $$
Άρα:
$$ 0{,}012345679 = \frac{1}{9} \cdot 0{,}111111111 = \frac{1}{81}. $$
Παρόμοια «μαγικά» δεκαδικά υπάρχουν και με μεγαλύτερα μπλοκ ψηφίων· πίσω τους κρύβονται ταυτότητες του τύπου:
$$ 12345679 \times 9 = 111111111. $$
5. Ένα ακόμη διαμάντι: ο Midy και τα 9
Για ορισμένους πρώτους \(p\), το δεκαδικό ανάπτυγμα του \(\frac{1}{p}\) έχει περίοδο άρτιου μήκους. Τότε συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό: αν χωρίσουμε την περίοδο στη μέση, τα δύο μισά συμπληρώνουν το 9.
Παράδειγμα με \(p=7\):
$$ \frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857} $$
Αν χωρίσουμε:
- 14 και 28 και 57
τότε:
$$ 1+8 = 9,\quad 4+5 = 9,\quad 2+7=9. $$
Παρόμοια φαινόμενα εμφανίζονται σε άλλους πρώτους (π.χ. 17) και συνδέονται με ένα αποτέλεσμα γνωστό ως θεώρημα του Midy.
🔚 Συμπέρασμα: Γιατί να αγαπήσουμε το 9;
- Το \(0{,}999\ldots = 1\) δείχνει πόσο «σφιχτά» γεμίζουν οι δεκαδικοί τη γραμμή των πραγματικών.
- Οι παρονομαστές γεμάτοι 9 (\(9, 99, 999,\ldots\)) δίνουν απλές, όμορφες περιοδικές δεκαδικές αναπτύξεις.
- Ο κανόνας «περίοδος πάνω, 9 κάτω» κάνει την μετατροπή περιοδικών δεκαδικών σε κλάσματα παιχνιδάκι.
- Ιδιαίτεροι αριθμοί, όπως το \(0{,}012345679\), αποκαλύπτουν απρόσμενα μοτίβα.
Το ψηφίο 9 εμφανίζεται σε τόσα πολλά σημεία, ώστε δικαιούται τον τίτλο του «αγαπημένου ψηφίου» των περιοδικών δεκαδικών. Αν το θυμάστε αυτό, οι ασκήσεις με δεκαδικά θα σας φανούν πολύ πιο φιλικές.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου