🧭 Ο Γρίφος του Gamow Ή: πώς ένας μιγαδικός αριθμός σε οδηγεί στον θησαυρό

Ένας γρίφος μαθηματικά κομψός, αφηγηματικά απολαυστικός και γεωμετρικά... θησαυρός.

---

📜 Η παλιά περγαμηνή

Ο George Gamow, φυσικός, κοσμολόγος και ένας από τους πιο χαρισματικούς επιστημονικούς συγγραφείς του 20ού αιώνα, στο βιβλίο του "One, Two, Three,… Infinity" (1947), προτείνει έναν από τους πιο πρωτότυπους μαθηματικούς γρίφους με φόντο ένα ερημονήσι, μια βελανιδιά, ένα πεύκο, μια αγχόνη και έναν… θησαυρό.

Ο ήρωας της ιστορίας –ένας νεαρός τολμηρός– βρίσκει μια παλιά περγαμηνή που του άφησε ο παππούς του και διαβάζει:

"Ταξιδεύοντας σε βόρειο πλάτος … και δυτικό μήκος … θα ανακαλύψεις ένα έρημο νησί. Στη βόρεια όχθη του θα βρεις μια μοναχική βελανιδιά, ένα μοναχικό πεύκο και μια παλιά αγχόνη. Ξεκίνα από την αγχόνη και περπάτα ίσια προς τη βελανιδιά μετρώντας τα βήματά σου. Εκεί στρίψε δεξιά σχηματίζοντας ορθή γωνία και περπάτα τον ίδιο αριθμό βημάτων. Εκεί κάρφωσε έναν πάσσαλο.

Τώρα επέστρεψε στην αγχόνη και περπάτα προς το πεύκο μετρώντας τα βήματα. Φτάνοντας, στρίψε αριστερά (90°) και περπάτα τον ίδιο αριθμό βημάτων. Εκεί κάρφωσε δεύτερο πάσσαλο.

Ο θησαυρός είναι θαμμένος στο μέσον της απόστασης των δύο πασσάλων."

Ο Gamow, με χιούμορ, σημειώνει πως δεν δίνει τις ακριβείς συντεταγμένες για να αποφευχθεί ο πανικός αναζητήσεων, και ότι γνωρίζει καλά πως βελανιδιές και πεύκα σπάνια συνυπάρχουν σε έρημα νησιά — αλλά «για λόγους ασφαλείας» αλλάζει τις λεπτομέρειες.

---

😢 Ένα μικρό πρόβλημα...

Ο νεαρός φτάνει στο νησί. Βρίσκει τη βελανιδιά. Βρίσκει και το πεύκο. Η αγχόνη όμως… έχει εξαφανιστεί. Κανένα ίχνος. Απογοητευμένος, εγκαταλείπει τον θησαυρό.

Αλλά... έκανε λάθος.

Αν ήξερε μιγαδικούς αριθμούς, θα μπορούσε να βρει το σημείο χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζει πού βρισκόταν η αγχόνη!

---

🧠 Η Μαθηματική Μαγεία

Η λύση βασίζεται σε μια βασική ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών:

Πολλαπλασιασμός με i → Περιστροφή κατά 90° αριστερόστροφα

Πολλαπλασιασμός με –i → Περιστροφή κατά 90° δεξιόστροφα

Η μαθηματική λογική της λύσης είναι η εξής:

• Το πεύκο έχει συντεταγμένες $P=(1,0)$

• Η βελανιδιά έχει συντεταγμένες $B=(-1,0)$

• Η αγχόνη βρίσκεται σε άγνωστο σημείο $H=(\alpha ,\beta )$

Ακολουθώντας τις οδηγίες και εφαρμόζοντας τις περιστροφές των διανυσμάτων με βάση τους μιγαδικούς αριθμούς, βρίσκουμε τις θέσεις των πασσάλων και υπολογίζουμε το μέσο τους:

👉 Με βάση το γεωμετρικό και αλγεβρικό υπολογισμό, ο θησαυρός βρίσκεται στο σημείο (0,1).

Δηλαδή:

• Πάνω στον φανταστικό άξονα.

• Σε απόσταση ίση με 1 (το μισό της απόστασης των δέντρων) από το κέντρο.

• Και το πιο εντυπωσιακό: ανεξάρτητα από το πού ήταν η αγχόνη!

---

✨ Ένα Μάθημα Μαθηματικής Σκέψης

Ο γρίφος του Gamow είναι μια πανέμορφη σύνθεση γεωμετρίας, φαντασίας και μιγαδικής ανάλυσης. Αποδεικνύει ότι:

• Μια «χαμένη πληροφορία» δεν σημαίνει απαραιτήτως ότι δεν υπάρχει λύση.

• Η χρήση των σωστών εργαλείων –στην προκειμένη, οι μιγαδικοί αριθμοί– αποκαλύπτει μοτίβα και λύσεις που αλλιώς παραμένουν κρυφές.

---

📌 Ερώτηση για εσάς:

Μπορείτε να αποδείξετε ότι η στροφή ενός διανύσματος μέσω του πολλαπλασιασμού με τον μιγαδικό αριθμό i ισοδυναμεί με περιστροφή 90° αριστερόστροφα;

Δοκιμάστε να το αποδείξετε χρησιμοποιώντας την εκθετική μορφή:

$e^{i\pi/2} = i$ και $z = re^{iθ}$

---

🧭 Η δύναμη της φαντασίας... και των μαθηματικών

Ο Gamow κατάφερε να μετατρέψει μια απλή μαθηματική ιδιότητα σε μια συναρπαστική περιπέτεια. Ο γρίφος του δεν είναι μόνο ένα μαθηματικό πρόβλημα — είναι και υπενθύμιση πως, συχνά, ο θησαυρός δεν βρίσκεται εκεί που τον περιμένουμε… αλλά εκεί που σκεφτόμαστε σωστά.