Φανταστική αλλαγή μεταβλητής !

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

 

Λύση

Έχουμε διαδοχικά:

$I = \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin^3 x}{\ln(\cos x)} \, dx \\ = $

$=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x \cdot (1 - \cos^2 x)}{\ln(\cos x)} \, dx \\ \xrightarrow{\cos x \to e^{-x}} \int_{0}^{\infty} \dfrac{1 - e^{-2x}}{-x} \cdot e^{-u} \, du \\ = $

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-3x} - e^{-x}}{x} \, dx \\ = -\ln(3).$

@Frullani

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →