cosx = x: Η Ομορφιά του Αριθμού Dottie

Ο αριθμός Dottie, γνωστός και ως σταθερά συνημιτόνου, είναι ένας μαθηματικός αριθμός που ορίζεται ως η μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης:

$cosx=x$

όπου το $x$ μετριέται σε ακτίνια (radians). Με άλλα λόγια, είναι το σημείο όπου η συνάρτηση του συνημιτόνου $cosx$ ισούται με την ίδια την τιμή $x$.

Βασικά Χαρακτηριστικά:

Τιμή: 

Η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού Dottie είναι:

$x\approx 0.73908513321516064165531208767387\dots$

Δεν είναι ρητός αριθμός και θεωρείται υπερβατικός, δηλαδή δεν είναι λύση καμίας πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.

Ιδιότητα: 

Είναι ένα σταθερό σημείο της συνάρτησης $cosx$. 

Αυτό σημαίνει ότι αν πάρεις το συνημίτονο αυτού του αριθμού, θα πάρεις πάλι τον ίδιο αριθμό:

$\cos (0.7390851332\dots )=0.7390851332\dots$

Πώς ανακαλύπτεται: 

• Μαθηματικά, η εξίσωση

$cosx=x$

μπορεί να λυθεί μόνο αριθμητικά (όχι με αναλυτική φόρμουλα), χρησιμοποιώντας μεθόδους όπως η μέθοδος Newton-Raphson ή επαναληπτικές προσεγγίσεις.

• Μια ενδιαφέρουσα ιστορία λέει ότι ο αριθμός πήρε το όνομά του από έναν καθηγητή Γαλλικών (όχι μαθηματικό!) που παρατήρησε ότι, πατώντας επανειλημμένα το κουμπί «cos» σε μια αριθμομηχανή (σε ακτίνια), η τιμή συγκλίνει πάντα σε αυτόν τον αριθμό, ανεξάρτητα από την αρχική τιμή. 

Ιστορία: 

Ο αριθμός ήταν γνωστός τουλάχιστον από τον 19ο αιώνα, καθώς εμφανίζεται σε κείμενα άλγεβρας και τριγωνομετρίας. Το όνομα «Dottie» είναι πιο πρόσφατο και ανεπίσημο, δοσμένο προς τιμήν της παρατήρησης που αναφέρθηκε.

Πώς να το δεις στην πράξη:

Αν έχεις αριθμομηχανή βάλτην σε λειτουργία ακτινίων (radians).

Ξεκίνα με οποιαδήποτε τιμή, π.χ.$x=1$.Πάτα το κουμπί «cos» επανειλημμένα.

Μετά από μερικές επαναλήψεις, θα δεις την τιμή να συγκλίνει κοντά στο 

$0.7390851332\dots$