Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [19]

 Της Ντίνας Ψαθά  

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: A = (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει η σχέση

$$xf'(x) + e^{-f(x)} = 0, \text{ για κάθε } x \in A.$$

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο $M(1, f(1))$ είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων.

$\Delta$1. Να δείξετε ότι 

$f'(x) = ln(1-ln x), x \in A$.

$\Delta$2.

i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$.

ii. Να δείξετε ότι ορίζεται και να ορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f$.

$\Delta$3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης . Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση.

$\Delta$4. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$, όπου 

$g(x) = \ln(2-x)$

έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο, στο οποίο μάλιστα δέχονται εφαπτομένη.

$\Delta$5. Να δείξετε ότι για κάθε $x \in (1, e)$ ισχύει 

$(x-1)f'(x) < f(x)$.

$\Delta$6. Να δείξετε ότι ισχύει 

$\dfrac{1}{2} (\ln 2 - 1) < \int_{1}^{\frac{3}{2}} f(x) dx < -\dfrac{1}{8}$.