Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ από το study4exams

16. Δίνεται η συνάρτηση 

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+1}{x}},& x<0\\ 2\sqrt{x}+1,& x\ge 0\end{array}$ 

και έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία 

ισχύουν: 

• $f(x)\ne 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 
• $f(0)=e$ 
• ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}-e^x=0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 

Δ1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $g$. 

Δ2) Να βρείτε κατάλληλους $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ με $\alpha <\beta$ τέτοιους ώστε για τη συνάρτηση $g$ να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα $[\alpha ,\beta ]$. 

Δ3) Να αποδείξετε ότι: 

$f(x)=e^{e^x},x\in \mathbb{R}$. 

Δ4) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ5) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$. 

Δ6) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ η οποία διέρχεται από το σημείο $(0,0)$. 

Δ7) Να αποδείξετε ότι: 

$e^e+e>2e^{\sqrt{e}}$.