Τρεις λογικοί σε παιχνίδι με καπέλα: Η στρατηγική για σίγουρη νίκη

Τρεις λογικοί συμμετέχουν σε μια τηλεοπτική εκπομπή παιχνιδιού. Ο οικοδεσπότης εξηγεί ότι σε κάθε λογικό θα τοποθετηθεί τυχαία ένα καπέλο, μαύρο ή άσπρο, με πιθανότητα $50\mathrm{\%}$ για κάθε χρώμα. Κάθε λογικός μπορεί να δει τα καπέλα των άλλων δύο, αλλά όχι το δικό του.

Αφού τοποθετηθούν τα καπέλα, ο οικοδεσπότης χωρίζει τους λογικούς και ζητά από τον καθένα να πει το χρώμα του δικού του καπέλου. Κάθε λογικός μπορεί να επιλέξει αν θα απαντήσει ή όχι. Εάν κάποιος απαντήσει σωστά, κερδίζει $1.000$ $ για κάθε σωστή απάντηση, και αν τουλάχιστον μία απάντηση είναι σωστή, το έπαθλο θα δοθεί στους συμμετέχοντες.

Οι λογικοί έχουν τη δυνατότητα να σχεδιάσουν μια στρατηγική πριν τοποθετηθούν τα καπέλα. Δεν επιτρέπεται καμία επικοινωνία μετά την τοποθέτηση των καπέλων. Ποια στρατηγική πρέπει να ακολουθήσουν οι λογικοί για να μεγιστοποιήσουν τις πιθανότητες να κερδίσουν το έπαθλο και ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουν;