Υπολογισμός Αθροίσματος

Έστω $f$ μια συνάρτηση από μη αρνητικούς ακεραίους σε μη αρνητικούς ακεραίους, τέτοια ώστε $f(0)=0$ και

$f(m)=f\left(\lfloor {\displaystyle \frac{m}{2}}\rfloor \right)+{\lceil {\displaystyle \frac{m}{2}}\lceil }^2$

για όλους τους θετικούς ακεραίους $m$.

Υπολογίστε

${\displaystyle \frac{f(1)}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{f(2)}{2\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{f(3)}{3\cdot 4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{f(31)}{31\cdot 32}}$.

(όπου,$\lfloor z\rfloor$ είναι ο μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος με το $z$, και $\lceil z\rceil$ είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος με το $z$.)

Harvard MIT Math Tournament 2025 — GUTS ROUND