Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Γ

 Tου Νίκου Παπαγγελή  

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με τύπο $$f(x)=2x^2\cdot \ln x-x^2+{\int }_{-f(a)}^{-f(\beta )}|f(x)|dx,\text{με}0<a<\beta ,$$ η οποία έχει ελάχιστη τιμή $-1$.

Γ1.Να αποδείξετε ότι $f(a)=f(\beta )$.

Γ2.Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=\sin \theta$ για τις διάφορες τιμές του $\theta \in [0,2\pi ]$.

Γ3.Να αποδείξετε ότι $a\in (0,1)$ και $\beta \in (1,\sqrt{e})$.

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $$\frac{f(\beta -\alpha )}{x-1}+\frac{f(\alpha +\beta -1)}{x-2}=0$$

έχει μοναδική ρίζα, η οποία ανήκει στο διάστημα $(1,2)$.