Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Γ

 Του Δημήτρη Σπαθάρα 

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με $$f(x)=(x+1)\ln x-(x-1{)}^2.$$

Δ1) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,e)$, στο οποίο η $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο.

Δ2) Βρείτε τα όρια 

$\underset{x\to x_1}{lim}{e}^{\frac{1}{f(x)-f(x_1)}}$ και $\underset{x\to x_1}{lim}{e}^{\frac{-1}{f(x)-f(x_1)}}$. 

Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x)+x=x_1$ για $x\in (1,x_1)$ 

έχει μοναδική ρίζα $x_2$. 

Δ4) Να δείξετε ότι 

$f(x_2)(f^{\prime }(x)+1)>f(x_1)$ 

για κάθε $x\in (0,x_2)$, όπου $x_1$ είναι το σημείο του ερωτήματος Δ1 που η $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο και $x_2$ είναι η ρίζα της εξίσωσης 

$f(x)+x=x_1$ 

του ερωτήματος Δ3.