Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [5]

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια, ώστε:

• $2f^2(1)+f^2(3)\le 2f(1)-f(3)$
• $f^{\prime }(1)=2$
• $f^{″}(x)\ne 0$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι η $f$ δεν είναι συνάρτηση 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο στο $\mathbb{R}$.

γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και στη συνέχεια να υπολογίσετε το $$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\eta \mu (\pi x)}{(x-1)(f(x)-2x+2)}$$

δ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_0^{4}f(x)dx<{\int }_1^{3}f(x)dx$.

ε) Να αποδείξετε ότι $E<(\xi -1{)}^2$, όπου $E$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $x=1$ και $x=\xi$, με $\xi$ το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $f$.