Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [4]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\sqrt{e^{2t}+(x+1)e^{x+t}+1-e^t}\right)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{2(x+1)}},x\ne -1$ και $f(-1)={\displaystyle \frac{2}{e}}$.

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=(x^2+1)e^x,x\in \mathbb{R}$

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών το $(0,+\mathrm{\infty })$.

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη ή κυρτή και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_f$.

δ) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)(x+1)\le f(x^2)+2ex$ 

για κάθε $x\ge 1$.

ε) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_1^2{\displaystyle \frac{(x^4+1)e^x}{e(x+1)}}dx>3e-4-2\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}$.