Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [1]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\ln x-{\displaystyle \frac{e}{x}}+x$, $x>0$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_f$. 

β) i) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$. 

ii) Να λύσετε την ανίσωση 

$f^{-1}(2e-f(x))>e$. 

γ) Να λύσετε την εξίσωση 

$\ln x-(ex+1)({\displaystyle \frac{e}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{e}})=2$. 

δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση 

$g(x)=f(x)+f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$, $x>0$. 

i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική της παράσταση, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $x=1$, $x=e$. 

ii) Να αποδείξετε ότι αν για κάποιο $\alpha \in \mathbb{R}$ ισχύει $g(x)\le \alpha$ για κάθε $x>0$, τότε 

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+e\ge 1$.