Η εξίσωση του Poisson

Η εξίσωση του Poisson είναι μια σημαντική διαφορική εξίσωση στη φυσική και στη μαθηματική ανάλυση. 

Εκφράζεται ως:

 ${\mathrm{\nabla }}^2\phi =f$ 

όπου: 

• ${\mathrm{\nabla }}^2$ είναι ο λαπλασιανός, που σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται ως: $${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$$ για τρεις διαστάσεις. 
• $\phi$ είναι η συνάρτηση που αναζητούμε. 
• $f$ είναι μια γνωστή συνάρτηση που αντιπροσωπεύει την πηγή ή την κατανομή της φόρτισης στην περίπτωση της ηλεκτροστατικής (ή οποιαδήποτε άλλη κατανομή, ανάλογα με την εφαρμογή). 

Η εξίσωση του Poisson χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλά πεδία, όπως: 

Ηλεκτρομαγνητισμός: 

Για την εύρεση του δυναμικού πεδίου από μια κατανομή φόρτισης.  

Μηχανική: 

Στη θεωρία της ελαστικότητας για την ανάλυση του κατασκευαστικού στρες. 

Θερμοδυναμική:

Για την κατανομή της θερμοκρασίας σε σταθερή κατάσταση με πηγές θερμότητας. 

Η λύση της εξίσωσης απαιτεί συνήθως την εφαρμογή οριακών συνθηκών για να καθοριστεί η μοναδική λύση.