Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [90]

 Της Αθηνάς Καλαμπόκα  

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\to R$ για την οποία ισχύει: $$f(\ln x)=2+x+\ln x,x>0$$ α) Να βρείτε τις τιμές $f(1),f(-1),f(0)$

β) Να δείξετε ότι: 

i) $f(x)=2+e^x+x,x\in R$

ii) Η $f$ είναι συνάρτηση $1-1$

γ) Να λύσετε την εξίσωση $$2+e^{f(x)}+f(x)=f(e^x)$$

δ) Να βρείτε συνάρτηση $g:R\to R$ για την οποία ισχύει: $$g(x)=e^{x^2-g(x)}+x^2-1,\mathrm{\forall }x\in R.$$