Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [94]

 Του Κώστα Ντούλα 

Δίνεται συνάρτηση $f$ με 

$f(x)={\ln }^{2}x-\ln (ax)$, $x>0,$ $a>0$ 

ώστε 

$x^5\ge 5a(x-1)+1$ 

για κάθε $x\ge 0$.

α) Να δείξετε ότι $a=1$. 

(4 μονάδες)

β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και το σύνολο τιμών της $f$. 

(6 μονάδες)

γ) i) Να δείξετε ότι υπάρχουν θετικοί αριθμοί $x_1$, $x_2$ με $x_1<x_2$ ώστε 

$f(x_1)=f(x_2)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{e}}{7}}$. 

(3 μονάδες)

ii) Να βρείτε το όριο 

$\underset{x\to \sqrt{e}}{lim}{\displaystyle \frac{1-x_1}{4f(x)+1}}$. 

(5 μονάδες) 

δ) Να δείξετε ότι το διάγραμμα της $f$ έχει με την παραβολή $y=(x-1{)}^2$ μοναδικό κοινό σημείο $\Sigma (1,0)$ και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι εφαπτομένες της $C_f$ και της παραβολής στο σημείο $\Sigma$, με τον άξονα $y^{\prime }y$. 

(7 μονάδες)