Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [93]

  Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Δίνεται η σχέση: $$xf(x)+f^{\prime }(x)=x,x\in \mathbb{R}$$ και $f(0)=0$.

(a) Να βρεθεί η συνάρτηση $f$.

(b) Να μελετηθεί η $f$ ως προ; τη μονοτονία και τα ακρότατα.

(c) Να λυθεί η ανίσωση: $$e^{\frac{x^2}{2}}\le \sqrt{2}eln(x-\sqrt{2}+1)+e$$

(d) Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα $x$, την $C_f$ και την εφαπτομένη της $C_f$, στο $x=\sqrt{2}$ είναι μικρότερο από: $$\frac{\sqrt{2}(e+1)(e-1)}{4e}.$$