Το Άθροισμα των Πρώτων 24 Τετραγώνων: Μια Μοναδική Μαθηματική Σύμπτωση

Το άθροισμα των τετραγώνων των πρώτων $24$ φυσικών αριθμών: $$1^2+2^2+3^2+\cdots +{24}^2$$ ισούται με $\mathbf{\tau }\mathbf{o}\mathbf{\tau }\mathbf{\epsilon }\mathbf{\tau }\mathbf{\rho }\mathbf{ά}\mathbf{\gamma }\mathbf{\omega }\mathbf{\nu }\mathbf{o}\mathbf{\tau }\mathbf{o}\mathbf{\upsilon }\mathbf{70}$, δηλαδή: $$1^2+2^2+3^2+\cdots +{24}^2={70}^2$$ Αυτή είναι η μόνη περίπτωση στην οποία το άθροισμα των τετραγώνων των πρώτων $k$ φυσικών αριθμών είναι επίσης τέλειο τετράγωνο !

Απόδειξη

Έχουμε $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ οπότε

$$\sum _{k=1}^{24}{k}^2=\frac{24\cdot 25\cdot 49}{6}=4900={70}^2.$$