Προετοιμάζομαι για Πανελλαδικές Εξετάσεις: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΘΕΜΑ $Δ_{16}$

ΑΣΚΗΣΗ 16

Δίνεται η συνάρτηση

 

• και έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν: για κάθε
• 
• για κάθε

Δ1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g.

Δ2) Να βρείτε κατάλληλους με τέτοιους ώστε για τη συνάρτηση g να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο κλειστό διάστημα .

Δ3) Να αποδείξετε ότι:

  , .

Δ4) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Δ5) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g για κάθε .

Δ6) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η οποία διέρχεται από το σημείο .

Δ7) Να αποδείξετε ότι: