Ένα ένατο

Το κλάσμα ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ είναι ένας  δεκαδικός περιοδικός αριθμός

${\displaystyle \frac{1}{9}}=0,\overline{111111}\dots$.

Αυτό σημαίνει 

$$\frac{1}{9}=\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+\cdots .$$

Χρησιμοποιήστε το για να υπολογίσετε ${\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^2$ με δύο διαφορετικούς τρόπους.