Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [77]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to R$, για την οποία ισχύει 

${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{2}f(x)dx=0.$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $\alpha \in (0,1)$ τέτοιο ώστε 

${\int }_0^{\alpha }{x}^{2}f(x)dx=\alpha {\int }_0^{\alpha }xf(x)dx.$

Florin Stănescu, Găes,ti, România