Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 462ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]\to R$ για την οποία ισχύει ότι:

$x{f}^{\prime }(x)+f(x)=-\eta \mu x$

για κάθε $x\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$.  

α) Να αποδείξετε

β) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$.

γ) Αν $\alpha ,\beta \in (0,1)$, να συγκρίνετε τους αριθμούς 

$f({\alpha }^2+{\beta }^2),f(\alpha +\beta )$

Να υπολογίσετε το όριο

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα