Τριακόσια ντουλάπια

Σε ένα σχολείο φοιτούν $300$ μαθητές και σε κάθε μαθητή ανατίθεται ένα ντουλάπι. Οι $300$ μαθητές μπαίνουν στο σχολείο ένας-ένας. 

Ο πρώτος μαθητής ανοίγει όλα τα ντουλάπια. Ο δεύτερος μαθητής κλείνει όλα τα ντουλάπια που είναι πολλαπλάσια του $2$. 

Ο τρίτος μαθητής αλλάζει τα ντουλάπια που είναι πολλαπλάσια του $3$ (που σημαίνει ότι αν ένα ντουλάπι είναι κλειστό, το ανοίγουν. Εάν το ντουλάπι είναι ανοιχτό, το κλείνουν.) 

Ο τέταρτος μαθητής αλλάζει όλα τα ντουλάπια που είναι πολλαπλάσια του $4$. 

Αυτό συνεχίζεται μέχρι ο $300$ος μαθητής να αλλάξει το $300$ο ντουλάπι. 

Στη συνέχεια, ο διευθυντής περπατά στο διάδρομο και αλλάζει όλα τα ντουλάπια που είναι πρώτοι αριθμοί.

(α) Στο τέλος, πόσα ντουλάπια θα κλείσουν; 

(β) Σε άλλο σχολείο υπάρχουν $1000$ μαθητές της ένατης τάξης. Αν έκαναν την ίδια δραστηριότητα όπως παραπάνω, πόσα ντουλάπια θα ήταν ανοιχτά στο τέλος