Η ιδρυτής του τσεχικού κράτους, η πριγκίπισσα Libusha, γοητευόταν από τρεις πρίγκιπες.
Τους κάλεσε να λύσουν το εξής πρόβλημα: «Αν έδινα τα μισά δαμάσκηνα που υπάρχουν σε αυτό το καλάθι συν ένα ακόμη δαμάσκηνο σε έναν πρίγκιπα, το μισό από τα υπόλοιπα συν ένα ακόμη δαμάσκηνο στον δεύτερο πρίγκιπα και τα μισά από αυτά που απομένουν συν άλλα τρία δαμάσκηνα στον τρίτο, το καλάθι θα ήταν άδειο.
Πόσα δαμάσκηνα υπάρχουν στο καλάθι;
Περιοδικό Quantum
30 δαμάσκηνα
ΑπάντησηΔιαγραφή(επαλήθευση☺:30/2+1=16 ο πρώτος, 14/2+1=8 ο δεύτερος, 6/2+3=6 ο τρίτος)
Τα 3 τελευταία είναι τα μισά του τρίτου, άρα ο τρίτος παίρνει 2*3=6.
ΔιαγραφήΑφού ο δεύτερος, όταν έρχεται η σειρά του, παίρνει τα μισά συν 1, έπεται ότι ο τρίτος παίρνει τα μισά πλην 1, άρα τα μισά είναι 6+1=7 και το μερίδιο του δεύτερου 7+1=8.
Ομοίως, τα μερίδια των δεύτερου + τρίτου , όταν είναι η σειρά του πρώτου, είναι τα μισά -1, άρα τα μισά όλων είναι 8+6+1=15, άρα όλα είναι 30.
Στο καλάθι υπάρχουν 30 δαμάσηνα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω α τα δαμάσηνα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Αφού έδωσε στο πρώτο πρίγκιπα 1/2 των δαμάσκηνων που είχε και 1 δαμάσηνο ακόμη της μείνουν υπόλοιπο τα α/2 δαμάσκηνα πλην 1 δαμάσηνο, δηλαδή: (α-2)/2 δαμάσκηνα.
Αφού έδωσε στο δεύτερο πρίγκιπα το 1/2 των υπόλοιπων δαμάσκηνων και 1 δαμάσκηνο ακόμα, θα της μείνουν υπόλοιπο το 1/2 των δαμάσκηνων πλην 1 δαμάσηνο, δηλαδή:
1/2*(α-2)/2-1 === (α-2)/4-1 === (α-2-4)/4 === (α-6)/4 δαμάσκηνα
Αφού έδωσε στο τρίτο πρίγκιπα το 1/2 του νέου υπολοίπου των δαμάσκηνων και 3 δαμάσκηνα ακόμα, θα της μείνουν το 1/2 του νέου υπολοίπου πλην 3 δαμάσκηνα, δηλαδή: 1/2*(α-6)/4-3 === (α-6)/8-3 === (α-6-24)/8 === (α-30)/8 δαμάσκηνα.
Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, μετά τη διανομή δεν έμεινε κανένα δαμάσκηνο στο καλάθι, έχουμε την εξίσωση:
(α-30)/8=0 === α-30=8*0 === α-30=0 == α=30 δαμάσκηνα
Άρα το καλάθι είχε στην αρχή 30 δαμάσκηνα.
Επαλήθευση:
α/2+1=30/2+1=15+1=16 δαμάσκηνα
1/2*(30-16)+1= 1/2*14+1=7+1=8 δαμάσκηνα
1/2*(30-16-8)+3=1/2*(30-24)+3=1/2*6+3=3+3=6 δαμάσκηνα ο.ε.δ.
Σύνολο:
16+8+6=30 δαμάσκηνα
Ο πρώτος Πρίγκιπας πήρε 16 δαμάσκηνα
Ο δεύτερος Πρίγκιπας πήρα 8 δαμάσκηνα
Ο τρίτος Πρίγκιπας πήρε 6 δαμάσκηνα