Τυχερά κελιά

Για να λύσει το πρόβλημα του υπερπληθυσμού στις κρατικές φυλακές μιας πολιτείας των ΗΠΑ, ο κυβερνήτης ξεκίνησε μια περίεργη μερική αμνηστία. Ένας δεσμοφύλακας, εκτελώντας τους όρους της μερικής αμνηστίας, ξεκλείδωσε όλα τα κελιά των φυλακών. 

Στη συνέχεια κλείδωσε κάθε δεύτερο κελί. Μετά γύρισε το κλειδί σε κάθε τρίτο κελί, κλειδώνοντας εκείνα τα κελιά που ήταν ανοιχτά και ανοίγοντας εκείνα τα κελιά που ήταν κλειδωμένα. 

Επανέλαβε αυτή τη διαδικασία $n$ φορές γυρίζοντας το κλειδί σε κάθε $n$οστό κελί. Οι κρατούμενοι των οποίων τα κελιά παρέμειναν τελικά ανοιχτά, αφέθηκαν ελεύθεροι. 

Ποια κελιά ήταν τα τυχερά;