Η βόλτα του Έκτορα

Ο Έκτορας αποφάσισε να πάει μια βόλτα. Ξεκινάει με κατεύθυνση $1$ πόδι βόρεια, αλλά αφού περπατήσει μόλις ένα πόδι, στρίβει δεξιά και ξεκινά χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: 

Σε κάθε στροφή, θα περπατάει τα $2/3$ της διαδρομής της απόστασης που έχει διανύσει μέχρι τώρα. 

Έτσι, για παράδειγμα, θα περπατήσει $1$ πόδι βόρεια, μετά τα $2/3$ ενός ποδιού ανατολικά, μετά $10/9$ μέτρα νότια,... 

Κάθε φορά θα στρίβει δεξιά και θα περπατάει μια απόσταση που είναι τα $2/3$ της απόσταση που έχει διανύσει μέχρι τώρα. 

Αποφάσισε να συνεχίσει να περπατάει με αυτόν τον τρόπο μέχρι να είτε περπατήσει πάνω σε έδαφος που έχει ήδη περπατήσει, είτε μέχρι να περπατήσει συνολικά $1$ μίλι. 

Πόσο μακριά θα απέχει από το αρχικό σημείο εκκίνησής του όταν τελειώσει το περπάτημά του;