Ο Cantor ασχολήθηκε µε τον πληθάριθµο των άπειρων συνόλων. Εισήγαγε τον πληθάριθµο για να µπορέσει να συγκρίνει το µέγεθος των άπειρων συνόλων και απέδειξε ότι ο πληθάριθµος του συνόλου των ϕυσικών αριθµών είναι αυστηρά µικρότερος από αυτόν του συνόλου των πραγµατικών αριθµών.
Ωστόσο οι αποδείξεις που έδωσε δεν έδειχναν τι γίνεται ανάµεσα στους δύο πληθάριθµους. ΄
Ετσι εισήγαγε την υπόθεση του συνεχούς, η οποία λέει ότι δεν υπάρχει σύνολο του οποίου ο πληθάριθµος να ϐρίσκεται αυστηϱά µεταξύ αυτού των ϕυσικών αριθµών και αυτού των πραγµατικών αριθµών.
Ο Cantor προσπάθησε για πολλά χρόνια να το αποδείξει, αλλά µάταια.
Το πρόβληµα αυτό επανέφερε ο Hilbert µε την οµιλία του. Το 1938 ο Kurt Godel απέδειξε ότι η γενικευµένη υπόθεση του συνεχούς είναι συνεπής µε τα αξιώµατα της Συνολοθεωρίας των Zermelo-Fraenkel.
Αργότερα, το 1963, ο Paul Cohen απέδειξε ότι και η άρνηση της υπόθεσης είναι επίσης συνεπής µε τα αξιώµατα της Συνολοθεωρίας των Zermelo- Fraenkel.
Συνεπώς, αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να µην αποδειχθεί η υπόθεση του συνεχούς µε ϐάση τα αξιώµατα αυτά.
Σημείωση:
Σε µία ιστορική οµιλία3 ο Hilbert, το 1900 στο ∆ιεθνές Συνέδριο Μαθηµατικών
στο Παρίσι, παρουσίασε 23 προβλήµατα που έµελλε να οδηγήσουν τις εξελίξεις
µέσα στους ερχόµενους αιώνες. Τα 23 προβλήµατα αφορούν τόσο τα Θεωρητικά
όσο και τα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά.
Πρόκειται για προβλήµατα που παρέµεναν άλυτα την εποχή εκείνη και αρκετά από αυτά είχαν απασχολήσει τον ίδιο τον
Hilbert. ΄Ηταν αυτά που πίστευε ο Hilbert ότι ϑα αποσχολήσουν ιδιαίτερα την
µαθηµατική κοινότητα τον 20ο αιώνα.
Από τα προβλήµατα, άλλα λύθηκαν πλήρως
ή εν µέρει, άλλα επαναδιατυπώθηκαν και γενικεύτηκαν και κάποια ακόµα και σήµερα παραµένουν άλυτα.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου