Μια ηλικιωμένη γυναίκα πηγαίνει στην αγορά και ένα άλογο πατάει πάνω στο καλάθι της και συνθλίβει τα αυγά. Ο αναβάτης προσφέρεται να πληρώσει για τις ζημιές και την ρωτά πόσα αυγά είχε φέρει.
Εκείνη δεν θυμάται τον ακριβή αριθμό, αλλά όταν τα έβγαλε δύο τη φορά, έμενε ένα αυγό. Το ίδιο συνέβη και όταν τα έβγαλε τρία, τέσσερα, πέντε, και έξι κάθε φορά, αλλά όταν τα έβγαλε επτά, έβγαιναν ίσα.
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός αυγών που θα μπορούσε να έχει;
[Από τον Brahmagupta (γεννήθηκε γύρω στο 598, πέθανε μετά το 665)]
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα έχει δύο λύσεις΅:
ΑπάντησηΔιαγραφή(α) Τ' αυγά είναι περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800.
(β) Τ' αυγά είναι περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400.
Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς 2,3,4,5 και 6. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι:
Ε.Κ.Π.(2,3,4.5.6)=2^2*3*5=60
Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
(α) Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη σειρά θα έχουμε:
60,120,180,240,300,360,420,480,540,600,660,720,780,840,...
Εάν προσθέσουμε στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως, που είναι η μονάδα, δηλαδή:
61,121,181,241,301,361,421,481,541,601,661,721,781,841, ...
θα δούμε ότι ο μόνο αριθμοί που πληρεί τη συνθήκη, δηλαδή να διαιρείται με το 7 χωρίς ν’ αφήνει υπόλοιπο, είναι ο αριθμός 721.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 721 που πληρεί τους όρους της συνθήκης.
(β) Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη σειρά θα έχουμε:
60,120,180,240,300,360,420,...
Εάν προσθέσουμε στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως, που είναι η μονάδα, δηλαδή:
61,121,181,241,301,361,421,,...
θα δούμε ότι ο μόνο αριθμοί που πληρεί τη συνθήκη, δηλαδή να διαιρείται με το 7 χωρίς ν’ αφήνει υπόλοιπο, είναι ο αριθμός 301.
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 301 που πληρεί τους όρους της συνθήκης.
60x+1=7p<=>56x+4x+1=7p<=>4x+1=πολλ.7. Το min το 21 για x=5, που δίνει τον 301.
ΑπάντησηΔιαγραφή