Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [14]

΄Εστω $f : [0, 1] → [0, +∞)$ συνεχής συνάρτηση με 

$\int_0^1(e^{f(x)} − 1)dx = 0$. 

Τότε,

(a) υπάρχει $x_0 ∈ [0, 1]$ ώστε

$ \int_0^1 x^2 f(x)dx = \dfrac{f(x_0)}{3}$.

(b) $\int_0^1 e^{f(x)−1} dx = \dfrac{1}{e^2}$.

(c) υπάρχει $x_0 ∈ [0, 1]$ ώστε $f(x_0) > 0$.

(d) $\int_0^1xe^{f(x)} dx = \dfrac{1}{2}$.