Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [14]

΄Εστω $f:[0,1]\to [0,+\infty )$ συνεχής συνάρτηση με 

${\int }_0^1(e^{f(x)}-1)dx=0$. 

Τότε,

(a) υπάρχει $x_0\in [0,1]$ ώστε

${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx={\displaystyle \frac{f(x_0)}{3}}$.

(b) ${\int }_0^1{e}^{f(x)-1}dx={\displaystyle \frac{1}{e^2}}$.

(c) υπάρχει $x_0\in [0,1]$ ώστε $f(x_0)>0$.

(d) ${\int }_0^{1}x{e}^{f(x)}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}$.