Challenging Recreational Mathematics: Πώς υπολογίζεται η «μισή» παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x

Δευτέρα 31 Ιουλίου 2023

Πώς υπολογίζεται η «μισή» παράγωγος της συνάρτησης f(x)=x

Έχει νόημα η μισή παράγωγος της συνάρτησης $f(x)=x$, δηλαδή μια έκφραση της μορφής $\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x$ ;

Θα ξεκινήσουμε με την συνάρτηση $f(x)=x^{k}$ , παραγωγίζοντάς την διαδοχικά:

$f'(x)=kx^{k-1}$

$f''(x)=k(k-1)x^{k-2}$

$f^{(3)}(x)=k(k-1)(k-2)x^{k-3}$

$\cdots \cdots$

$f^{(a)}(x)= k(k-1)(k-2) \cdots (k-a)x^{k-a}=\dfrac{k !}{k-a) !}x^{k-a} \,\, k \geq 0$

Χρησιμοποιώντας την γενίκευση του παραγοντικού με την συνάρτηση γάμμα $n!=\Gamma (n+1)$ , παίρνουμε:

$f^{(a)}(x)=\dfrac{\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)} x^{k-a}$

Θέτοντας $k=1$ και $a=1/2$ προκύπτει:

$\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x=\dfrac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)}x^{1/2}$ και δεδομένου ότι $\Gamma(1)=1$ και $\Gamma (3/2)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ , θα έχουμε τελικά την ζητούμενη «μισή» παράγωγο της f(x)=x:

$\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x}$

Aν επαναλάβουμε την μισή παραγώγιση στην συνάρτηση που προέκυψε παίρνουμε ένα αποτέλεσμα που επαληθεύει την παραπάνω συλλογιστική:

$\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \left( \dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x \right)= \dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \left( \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} x^{1/2}\right)$ $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \dfrac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)}x^{1/2-1/2}=1= \dfrac{d}{dx}x$

Υπενθυμίζεται ότι o Neils Abel (1802-1829) ήταν πρώτος μαθηματικός που ανέπτυξε τις βασικές ιδέες του «κλασματικών» παραγώγων όταν μελετούσε το πρόβλημα του ισοχρόνου (ή ταυτοχρόνου), δηλαδή την κατασκευή μιας καμπύλης με την εξής ιδιότητα: όταν ένα σώμα αφεθεί να ολισθήσει χωρίς τριβές κατά μήκος της καμπύλης, ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει στο χαμηλότερο σημείο της καμπύλης να είναι ανεξάρτητος από το αρχικό ύψος.