Τελικά πότε έχει δίκιο?

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=x\sqrt{x}$, $x\ge 0$

Να βρείτε την παράγωγο της $f$ στο σημείο $x_o=0$. 

Λύση 

"Εχουμε 

Αρκετοί Θεωρούν αυτή την λύση ανεπαρκή, καθώς ο μαθητής έχει γράψει ότι 

ενώ δεν ξέρει εκείνη την στιγμή αν υπάρχει το 

στο $R$. 

Βέβαια όπως βλέπουμε τελικά το όριο υπάρχει. Κάποιος πού Θεωρεί την λύση αυτή ως ανεπαρκή σε κάποια άλλη άσκηση γράφει:

Στην ερώτηση γιατί γράφεις πάνω στην ισότητα DLH ενώ σε εκείνο το σημείο δεν έχει ελεχθεί η δεύτερη προϋπόθεση τον Θεωρήματος που είναι η ύπαρξη του δεύτερον ορίού η απάντηση είναι :

Αφού τελικά το δεύτερο όριο υπάρχει ,δεν τίθεται κάποιο Θέμα, ικανοποιείται η δεύτερη προϋπόθεση. Τελικά πότε έχει δίκιο?

Στην πρώτη περίπτωση, στην δεύτερη και στις δυο ή σε καμία?

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Ζαχαριάδης-Πάτσης -Τρύφων)