EisatoponAI: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα $Δ$ ενόψει των Πανελλαδικών εξετάσεων 2023 [115]

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x) = e^{x^2}$.

Δ1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0, +\infty )$.

Δ2. Μελετήστε την $f$ ως προς την κυρτότητα και βρείτε την εφαπτομένη της στο $A(1,f(1))$.

Δ3. Να αποδείξετε ότι ισχύει

$f(x) \geq 2ex-e$

για κάθε $x \in R$.

Δ4. Γνωρίζοντας ότι για κάθε $x \in R$ ισχύει $e^x \geq x+1$ να αποδείξετε ότι

$\int_0^1 f(x)dx> \frac{4}{3}$.

Δ5. Αν $F$ μία παράγουσα της $f$ στο $R$, τότε:

i) Να αποδείξετε ότι ισχύει $F(x) > F(0) +x$, για κάθε $x>0$.

ii) Να υπολογίσετε το όριο

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{xF(x)}{f(x)}$.

iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $ξ \in (0,1)$ τέτοιο ώστε

$F(2)- F(0) = 2f(ξ)$

iv) Αφού αποδείξετε ότι η $F$ είναι κυρτή στο $[0, +\infty )$, στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

1) $xF' (x) \leq F(2x)-F)x)$, για κάθε $x>0$.

2) $2 \int_0^1 F(2x)dx = \int_0^2 F(x)dx$

3) $\int_0^2 F(x)dx>2F(1)$

EisatoponAI