Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα $Δ$ ενόψει των Πανελλαδικών εξετάσεων 2023 [118]

Δίνεται η συνάρτηση $f:R \rightarrow R$  η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $R$, γνησίως αύξουσα και κυρτή, για την οποία επί πλέον ισχύουν:

• $f(0) =  f' (0) = 1$
• $\lim_{x \rightarrow - \infty } f(x) = 0$

Η $C_f$ έχει στο $+ \infty$ ασύμπτωτη την ευθεία $y=2x$

Δ1. Να υπολογίσετε τα όρια

$L_1= \lim_{x \rightarrow + \infty } f(x)$

  και

$L_2= \lim_{x \rightarrow + \infty }\dfrac{x^3 f(x)-2x^4+3x^3+1}{x^2 f(x)-x^3+x+1}$ 

Δ2. Να αποδείξετε ότι 

$f(x) - x > 1$, για κάθε $x \in R^{ \star}$

Δ3. Να αποδείξετε ότι

$\int_0^{10}f(x) dx < f(1) + f(2) + ...+ f(10)$

Δ4. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της $f^{-1}$

Δ5. Να λύσετε την ανίσωση

$f^{-1} (x^3) < f^{-1}(4x)$

Δ6. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 

$h(x) = f(x) - 3x$ 

ως προς την κυρτότητα.

Δ7. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_h$ στο $+ \infty$ και στο $- \infty$. 

Δ8. Αν επιπλέον ισχύει $0< f' (x) < 2$  για κάθε $x \in R$, να μελετήσετε την $h$ ως προς τη μονοτονία.

Από το study4exams.gr.

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →