Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα $Δ$ ενόψει των Πανελλαδικών εξετάσεων 2023 [116]

Έστω $f$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο $R$ για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

• $ f' (x)=f(\dfrac{π}{2}-x)$,για κάθε $x \in R$ και
• $\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx= \int_0^{\frac{π}{2}}xf(x)dx=1$

Δ1. Να αποδείξετε ότι 

$f(0)=0$ και $ f' (0)=.1$.

Δ2. Έστω η συνάρτηση $g: R \rightarrow R$ με τύπο

$g(x)= f^2 (x)+f^2 (\dfrac{π}{2}-x)$,

Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι σταθερή.

Δ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 

$\int_0^{\frac{π}{2}}f^2 (x)dx$.

Δ4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $x_0=\dfrac{π}{2}$.

Δ5. Να υπολογίσετε τα όρια

$\lim_{x \rightarrow 0}  \dfrac{f(x)}{x}$

και

$\lim_{x \rightarrow +\infty}  \dfrac{f(e^x)}{x}$.

Από το study4exams.gr.

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →