Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ωραία θέματα με διαγράμματα [6]

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$f(x)=a{x}^3+bx+2$ και $g(x)=-x+2$. 

Ο άξονας $x$ είναι εφαπτομένη της $f$. Το ${\rm H}$ είναι σημείο τομής των $f$ και $g$. 

α) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου ${\rm A}$. 

β) Δείξτε ότι $a=-1$ και $b=3$. 

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του ${\rm B}$. 

δ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της $f$ στο σημείο ${\rm A}$. 

ε) Να λυθεί η ανίσωση 

$f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)<0$.