Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ωραία θέματα με διαγράμματα [6]

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$f(x) = ax^3 + bx + 2$ και $g(x) = -x + 2$. 

Ο άξονας $x$ είναι εφαπτομένη της $f$. Το $Η$ είναι σημείο τομής των $f$ και $g$. 

α) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου $Α$. 

β) Δείξτε ότι $a= -1$ και $b = 3$. 

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του $Β$. 

δ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της $f$ στο σημείο $Α$. 

ε) Να λυθεί η ανίσωση 

$f'(x)g'(x) < 0$.