Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 - 2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 9η τάξη 

Διάρκεια εξέτασης 240 λεπτά

1. Στον ζωολογικό κήπο υπάρχουν 10 ελέφαντες και τεράστια ζυγαριά (δυο ζυγών). Είναι γνωστο ότι, αν οποιοιδήποτε τέσσερεις ελέφαντες ανέβουν στον αριστερό ζυγό και οποιοιδήποτε τρεις στο δεξί ζυγό, τότε ο ζυγός γέρνει αριστερά. Πέντε ελέφαντες ανέβηκαν στον αριστερό ζυγό και τέσσερεις στο δεξιό. Οποσδήποτε η ζυγαριά θα γύρει προς τα αριστερά σε αυτή την περίπτωση;

2. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διψήφιοι αριθμοί. Κάθε αριθμός είναι σύνθετος αλλά οποιοιδήποτε δυο από αυτούς είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ποιό είναι το μέγιστο πλήθος γραμμένων αριθμών στον πίνακα;

3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των καθέτων από τα και προς την . Να δείξετε ότι .

4. Ποιός αριθμός είναι μεγαλύτερος ο 

ή  ;

5. Ο Έρμαν και ο Τσεκαλίνσκι(*) τοποθέτσησαν στο τραπέζι 13 διαφορετικά τραπουλόχαρτα. Κάθε τραπουλόχαρτο μπορεί να βρίσκεται σε δυο πιθανές καταστάσεις: με το "πρόσωπο" πάνω ή κάτω. Οι πάικτες με την σειρά πρέπει να αναποδογυρίσουν από ένα χαρτί. Χάνει αυτός ο παίκτης , μετά την κίνηση του οποίου εμφανίζεται στο τραπέζι κάποια από της προηγούμενες κατατάσεις των χαρτιών (της αρχικής συμπεριλαμβανομένης). Την πρώτη κίνηση την έκανε ο Τσεκαλίνσκι. Ποιός μπορεί να κερδίσει ανεξάρτητα το τι θα κάνει ο άλλος;

6. Τα ύψη μη ισοσκελούς οξυγώνιου τριγώνου τέμνονται στο σημείο και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Αν το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του κείται επί της , να βρείτε την γωνία .

(*) Ήρωες της νουβέλας Ντάμα Πίκα του Αλεξάντερ Πούσκιν. Ο Έρμαν, αξιωματικός του ρωσικού στρατού γερμανικής καταγωγής, βλέπει συνέχεια τους άλλους αξιωματικούς καθέ βράδυ να τσογάρουν αλλά δεν συμμετέχει ποτέ ο ίδιος. Μια μέρα μαθαίνει από τον εγγονό της Άννας Φεδόντοβνα ότι αυτή, όταν ήταν νέα, έμαθε ένα κόλπο με τρία νικηφόρα χαρτιά, που το έμαθε από τον διαβόητο κόμη του Σαντ Ζερμεν και κέρδισε ένα μεγάλο ποσό. Προσπαθεί από τότε μανιοδώς να μάθει το μυστικό...μαθαίνοντάς το εν τέλη πάει στο σαλούν του Τσεκαλίνσκι όπου εύποροι μαζεύονταν και τσόγαραν μεγάλα ποσά και άρχισε να παίζει και ο ίδιος ποντάροντας όλη του την περιουσία...

Πηγή