Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2015 - Τα προβλήματα της πρώτης και δεύτερης ημέρας

IMO 2015 : Day 1 Test Paper

Problem 1

Ονομάζουμε ένα πεπερασμένο σύνολο balanced εάν, για κάθε δύο διαφορετικά σημεία στο υπάρχει σημείο στο έτσι ώστε . Επίσης λέμε ότι το  είναι center-free εάν για κάθε 3 διαφορετικά σημεία δεν υπάρχει κανένα σημείο στο ώστε .

a) Nα δειχτεί ότι για κάθε ακέραιο υπάρχει ένα balanced set που περιλαμβάνει σημεία

b)Nα προσδιορίσετε όλους τους ακεραίους για τους οποίους υπάρχει ένα balanced center-free set.

Problem 2

Nα βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι έτσι ώστε:

να είναι δυνάμεις του .

Problem 3

Έστω oξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με .Έστω ο περίκυκλος και το ορθόκεντρο και το ίχνος του ύψους από το . σημείο στον ώστε και στον ώστε . Tα σημεία είναι όλα διαφορετικά στον κύκλο και βρίσκονται με αυτήν την σειρά.

Να αποδείξεται ότι οι περίκυκλοι των και εφάπτονται.

IMO 2015 : Day 2 Test Paper

Problem 4

Έστω τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο και έστω το κέντρο του.Ένας κύκλος με κέντρο το σημείο τέμνει το τμήμα στα σημεία έτσι ώστε τα να είναι διαφορετικά και πάνω στην ευθεία .

Τα σημεία είναι τα σημεία τομής των κύκλων έτσι ώστε τα να βρίσκονται πάνω στον με αυτή την σειρά.

Το σημείο είναι το δεύτερο σημείο τομής του πρειγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με το τμήμα .Έστω επίσης το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με το τμήμα .

Υποθέτουμε ότι οι ευθείες τέμνονται στα σημείο .Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται στο τμήμα .

Problem 5

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση

   

για όλους τους πραγματικούς

Problem 6

Το σύνολο ακεραίων ικανοποιεί τις συνθήκες:
1) . για κάθε
2) . για
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 2 θετικοί ακέραιοι και για τους οποίους

 

για όλους τους ακέραιους τέτοιους ώστε