Γύρω από ένα κύκλο τοποθετούνται είκοσι αριθμοί $1$ και τριάντα αριθμοί $2$, έτσι ώστε, ανά τρεις διαδοχικοί, να μην είναι ίδιοι.
Να βρεθεί το άθροισμα των γινομένων όλων των διαδοχικών τριάδων.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Από τους 50 αριθμούς σχηματίζονται 50 διαδοχικές τριάδες και καθένας από τους 50 αριθμούς συμμετέχει σε 3 ακριβώς τριάδες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάθε τριάδα θα έχει ή 1 άσο και 2 δυάρια και θα δίνει γινόμενο 1*2*2=4 ή 2 άσους και 1 δυάρι και θα δίνει γινόμενο 1*1*2=2.
Έστω χ ο αριθμός των τριάδων με γινόμενο 4 και ψ ο αριθμός των τριάδων με γινόμενο 2.
Ισχύει χ+ψ=50 (1).
Ας εξετάσουμε τώρα το άθροισμα των αθροισμάτων των 50 τριάδων.
Οι 20 συνολικά άσοι εισφέρουν 3*20*1=60 και τα 30 δυάρια εισφέρουν αντίστοιχα 3*30*2=180, επομένως το άθροισμα των αθροισμάτων των 50 τριάδων είναι 60+180=240.
Αλλά κάθε τριάδα γινομένου 4 εισφέρει 1+2+2=5 στο άθροισμα αυτό, ενώ κάθε τριάδα γινομένου 2 εισφέρει αντίστοιχα 1+1+2=4. Επομένως ισχύει 5χ+4ψ=240 (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτουν χ=40 και ψ=10.
Επομένως το άθροισμα των γινομένων των 50 τριάδων είναι 40*4+10*2 = 180.