Έχουμε ένα κυρτό πολύεδρο $Π$. Με ένα ψαλίδι (ένα τέμνον επίπεδο δηλαδή) κόβουμε μια "μυτούλα", ένα μικρό πρίσμα από κάθε κορυφή του Π και έτσι έχουμε ένα νέο πολύεδρο, έστω $Ν$.
Έστω πως το $Ν$ έχει $Κ$ κορυφές, $Α$ ακμές και $Ε$ έδρες και μία από τις τιμές Κ ,Α ή Ε ισούται με $1001$. Πόσες ακμές είχε το αρχικό πολύεδρο $Π$ ;
Ο μόνος τύπος-θεωρητικό υπόβαθρο που απαιτείται για να λυθεί αυτό το ωραίο πρόβλημα,είναι ο τύπος του Όϋλερ ,που ισχύει για κάθε κυρτό πολύεδρο: Kωνσταντίνου και Ελένης=Άγιοι και οι 2 :-) που έλεγε κι ένας παλιός ,αλλά χρήσιμος,μνημονικός κανόνας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚ(ορυφές) + Ε(δρες)=Α(κμές) +2.
Και λίγη παρατηρητικότητα και φαντασία μετά...
Γιώργο, απ' ότι βλέπω με την ανάρτησή μου σε παρακίνησα ν' αναρτήσεις κάτι που να έχει σχέση με το "τύπος πολύεδρου Euler ή θεώρημα Euler". Μια ερώτηση για το γρίφο:
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχει κάποια σχέση ο αριθμός 1001 ν' αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;
Εν αναμονή απαντήσεως σου.
Σε γινόμενο πρώτων όχι. Δε βλέπω κάποια άμεση χρησιμότητα. Το να βρεις του παράγοντες όμως γενικά του 1001 βοηθάει. Θα διαπιστώσεις πως λείπουν (από παράγοντες του 1001) κάποιοι μικροί αριθμοί (όπως το 2 και 3 ας πούμε) ...
ΔιαγραφήΤο κλειδί είναι προφανώς να βρεθεί σε ποιο απο τα Α,Κ,ή Ε αντιστοιχεί το 1001. Πρέπει να βρεθεί ,με βάση κάποια συγκεκριμένη αριθμητική σχέση που τη βρίσκουμε από το "ψαλίδισμα", μια έξτρα σχέση για τα Α Κ και Ε.
Βοήθησα αρκετά ελπίζω.
$ K_{N}=2 A_{ \Pi }$, άρα οι κορυφές του νέου ζυγός αριθμός, άρα το 1001 δεν είναι οι κορυφές του νέου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίσης $ E_{N}=E_{ \Pi }+ K_{ \Pi }$ οι έδρες του Π παραμένουν και προστίθεται μια νέα έδρα ανά μια κορυφή της μυτούλας, του Π.
Ισχύουν $ E_{ \Pi }+ K_{ \Pi } =A_{ \Pi }+2 $ και
$ E_{N} + K_{ N } =A_{N }+2 \Rightarrow $
Έστω $ A_{N }=1001$ τότε
$ A_{N }+2+ 2A_{ \Pi } = 1001+2$ , άτοπο $ A_{N }=1001/3$
Άρα $ E_{N }=1001$, επειδή όμως Ε(Ν)=Α(Π)+2=1001 ->
$ A_{ \Pi }=999$
Διόρθωση
Διαγραφή$ A_{ \Pi }+2+2A_{ \Pi }=1001+2 \Rightarrow A_{ \Pi }=1001/3 $
Πολύ σωστά Ευθύμιε. Συγχαρητήρια!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο πρόβλημα θα μπορούσε να τεθεί και ως: "Βρείτε τα Α, Κ, και Ε"
Η μόνη εξίσωση που χρειαζόμαστε είναι η
Κ - Α + Ε =2 (1)
Μια παρατήρηση -κλειδί είναι πως το ψαλίδισμα του Π που δίνει το Ν ,εξαναγκάζει όλες τις κορυφές του Ν να είναι το σημείο σύγκλισης (εκεί που συντρέχουν) 3 ακμές. Εξ αυτού έχουμε:
K=2A/3 και
Α=3Κ/2. Δυνάμει και της (1) παίρνουμε:
K=2(E-2)
A=3(E-2)
Προφανώς το 2 και το 3 δεν είναι παράγοντες του 1001, άρα 1001 είναι το Ε. Έχουμε λοιπόν για τo πολύεδρο Ν ανακεφαλαιωτικά:
E=1001
K=1998
A=2997
Aλλά έχουμε ήδη μάθει κάτι για το αρχικό πολύεδρο Π. Αν το Π έχει έστω ε έδρες, α ακμές και κ κορυφές,ισχύει:
ε+κ=Ε=1001
Κι απ'τον τύπο του γίγαντα: ε=999
Κάποιος μπορεί να παρατηρήσει πως η πιο απλή-θεμελιώδης περίπτωση για το αρχικό πολύεδρο Π μοιάζει να είναι ένα πρίσμα που δημιουργείται με βάσεις δύο 333-γωνα. Με αριθμό κορυφών κ σ'αυτήν την περίπτωση το κάπως...δυσοίονο :-) 666.
Kαλό Δεκαπενταύγουστο σε όλους!
Γιώργο δεν ...πρόκανα (που έλεγε και ο μακαρίτης Χαρίλαος) γιαυτό γράφω ότι είχα μόλις είχα τελειώσει και ετοιμαζόμουν να το στείλω..
ΑπάντησηΔιαγραφήΠραγματικά απίστευτο αυτό που συνέβηκε, αν συνέβηκε και δεν πρόκειται για λάθος χειρισμό χωρίς πρόθεση, γιαυτό θα συνιστούσα ψυχραιμία και εγκράτεια μέχρι να μιλήσει και να ξεκαθαρίσει πως και γιατί έχουν τα πράγματα, αν δεν μιλήσει, η σιωπή του θα είναι σαφής απάντηση ότι πρόκειται για συνειδητή ενέργεια και να με συμπαθάτε Νίκο και Γιώργο, Γιώργο και Νίκο σε θέμα που σας αφορά άμεσα, αλλά νομίζω ότι αφορά έμμεσα και όλα τα "μέλη" του "κλάμπ".
Να μιλήσει ο κ. Ρωμανίδης ήθελα να γράψω, αλλά μου διέφυγε, περιττό αυτό που γράφω βέβαια γιατί το αντιληφθήκατε σίγουρα όλοι σας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλημέρα σε όλους τους αγαπητούς φίλους.... Δεν μπορούσα να φανταστώ ότι η κίνηση μου να βάλω τη λύση του Νίκου στην ίδια την ανάρτηση του Γιώργου θα δημιουργούσε τέτοιο πρόβλημα. Δεν μου αρέσει αλλού να είναι η εκφώνηση και σε άλλη ανάρτηση η λύση του προβλήματος. Αυτός ήταν ο λόγος...
ΑπάντησηΔιαγραφή... και από λάθος χειρισμό δεν πήρα τα σχόλια της ανάρτησης που διέγραψα, για να τα βάλω στην ανάρτηση του Γιώργου, έτσι ώστε να μην χαθούν. Ήταν λάθος μου ...
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωκράτη, μια και -εκ των πραγμάτων υποχρεωμένοι- μιλούμε δημόσια, ήρθε η ώρα να ξεκαθαρίσω τα πράγματα για να τελειώνει κι αυτή η παιδιάστικη μεν ,σοβαρή δε κατ'εμέ κατάσταση.
ΑπάντησηΔιαγραφή"Δεν μου αρέσει αλλού να είναι η εκφώνηση και σε άλλη ανάρτηση η λύση του προβλήματος. Αυτός ήταν ο λόγος..."
Σ'αυτό συμφωνώ απολύτως! Ποια όμως είναι η γεννεσιουργή αιτία; Δεν γίνεται ρε παιδιά, να υπάρχει μία ανάρτησή μου και αυτή να αναπαράγεται μετασχηματιζόμενη σε άλλη. Είναι ,πώς να το πω ευγενικά; "άκομψο" . Θέλει κάποιος να πει ΟΤΙΔΗΠΟΤΕ; Ας το πει στα σχόλια. Και Λάτεξ υπάρχει εκεί, κι απ'όλα.
Βεβαίως, για να πω και τα πράγματα σταράτα και χωρίς επίπλαστες ψευτοευγένειες και κομψότητες, εδώ έγινε ΤΟ εξωφρενικό παλιότερα ,και όχι μόνο ΔΕΝ πήρες θέση, αλλά δεν έδειξες ούτε στο ελάχιστο την ίδια ευαισθησία.
ΤΟ εξωφρενικό βέβαια, ήταν που δημιουργήθηκε ολόκληρη ανάρτηση με αιτία μια γλωσσική μου παραδρομή ("έγγεντρο"αντί για "περίκεντρο" ..ή κάτι τέτοιο) ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ επί της ουσίας στη ΛΥΣΗ ΜΟΥ! To δε εξωφρενικότερο ήταν, πως παρότι ζητήθηκαν τυπικές και ανούσιες συγγνώμες ΔΕΝ υπηρξε η στοιχειώδης έμπρακτη συγγνώμη και η ευαισθησία από μεριάς σου να γίνει ή να ζητηθεί η άρση ή έστω η τροποποίηση της ανάρτησης, ώστε να μην είναι προσβλητική και υποτιμητική για μένα! Tί πιο απλό Σωκράτη;
Εν πάσει περιπτώσει, είπα να δώσω τόπο στην οργή τότε και να μην κάνω περαιτέρω θέμα.
Αλλά κατά το δοκούν το δικό σου ή οποιουδήποτε άλλου κοπτοραπτική σε δικές μου αναρτήσεις , πάει πολύ!
Αν και όταν υπάρξει άλλη ανάρτησή μου στο μέλλον απαγορεύω ρητά οποιαδήποτε παρέμβαση ουσίας και "πολιτικής" σ'αυτή και οποιαδήποτε "χρήση" του θέματος σε άλλη ανάρτηση ή εκτός ιστολογίου, θα ήθελα να έχει την άδειά μου (δεν βάζω θέμα κοπυράιτ. Βάζω απλώς θέμα ηθικής)
Αν δεν συμφωνείς με αυτό, απλώς ενημέρωσέ με και αποχωρώ πάραυτα. Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα και πάλι αδέρφια θά'μαστε! H γενική εκτίμησή μου στο πρόσωπό σου και στο έργο σου παραμένει, αλλά δεν μπορώ να μην επισημάνω αυτά που θεωρώ μεγάλα "φάουλ".
Αγαπητέ Γιώργο, σε κάθε ανάρτηση και δική σου και του Νίκου παρεμβαίνω γιατί υπάρχουν κάποιες ατέλειες "τεχνικές" π.χ στη διάταξη της γραμματοσειράς, στα διαστήματα δεξιά και αριστερά του κειμένου, στο μέγεθος του σχήματος και στα διαστήματα που αυτό αφήνει από κάτω κ.ά. Ποτέ δεν παρεμβαίνω στην ουσία της ανάρτησης. Για το συγκεκριμένο τώρα. Έκρινα ότι καλό θα ήταν να βάλω τη λύση του Νίκου κάτω από την εκφώνηση του προβλήματος. Αυτό. Να ξέρετε γενικά όλοι, ότι λόγω χρόνου δεν παρακολουθώ όλα τα σχόλια, και μπορεί να νομίζετε ότι τα διαβάζω και σιωπώ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠάντως, ειλικρινά δεν καταλαβαίνω το ύφος σου....
Φιλικά
Σωκράτης