"Tα μικρά μυαλά μισούν ανθρώπους. Tα μέτρια μυαλά μισούν συμπεριφορές. Τα μεγάλα μυαλά μισούν ιδέες. Τα πολύ μεγάλα μυαλά μισούν τα Μαθηματικά."
Jorge de Pájaros y Arroz
Πάνω σε ένα ευκλείδειο επίπεδο παίρνουμε δεκαεπτά σημεία έτσι ώστε να μην υπάρχουν τρία σημεία συνευθειακά. Χαράσσουμε όλες τις δυνατές ευθείες μεταξύ των σημείων (136 συνολικά). Κάθε ευθεία μπορεί να έχει μαύρο, πράσινο ή κόκκινο χρώμα.Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα τρίγωνο, μεταξύ των πολλών που σχηματίζονται από το δίκτυο των γραμμών , του οποίου οι πλευρές να έχουν όλες το ίδιο χρώμα;
Ίσως να μην καταλαβαίνω καλά το νόημα της ερώτησης, αλλά νομίζω ότι με μόλις 3 χρώματα, οποιοσδήποτε αριθμός ευθειών πάνω από 6 , θα έδινε υποχρεωτικά τουλάχιστον 1 τριάδα ευθειών, και συνεπώς τρίγωνο/α, του ίδιου χρώματος. Οι 136 ευθείες μού φαίνονται πάρα πολλές για να το εμποδίσουν.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ διαίσθηση είναι αναμφισβήτητα καλό πράγμα, αλλά δεν είναι απόδειξη. :-)
ΔιαγραφήΑπόδειξη λοιπόν:
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαίρνουμε ένα από τα 17 σημεία, έστω το Α, και το συνδέουμε με τα υπόλοιπα 16. Έχουμε 16 τμήματα, τα οποία πρέπει να χρωματίσουμε το καθένα μαύρο ή πράσινο ή κόκκινο. Εύκολα προκύπτει (pigeonhole principle, 16 τμήματα για 3 χρώματα) ότι τουλάχιστον 6 από τα τμήματα αυτά πρέπει να πάρουν το ίδιο χρώμα, έστω το μαύρο.
Ας δούμε τώρα τα 6 σημεία που συνδέονται με το σημείο Α όλα με μαύρο. Παίρνουμε ένα από αυτά, έστω το Β, και το συνδέουμε με τα υπόλοιπα 5. Αν χρωματίζαμε οποιοδήποτε από τα 5 νέα τμήματα μαύρο, θα είχαμε ένα ‘μαύρο’ τρίγωνο, οπότε θα πρέπει να τα χρωματίσουμε πράσινα είτε κόκκινα. Από την ίδια αρχή (5 τμήματα για 2 χρώματα) προκύπτει ότι τουλάχιστον 3 από τα τμήματα αυτά πρέπει να πάρουν το ίδιο χρώμα, έστω το πράσινο.
Ας δούμε τώρα τα 3 σημεία που συνδέονται με το Β όλα με πράσινο. Τα 3 αυτά σημεία συνδέονται ανά δύο μεταξύ τους με 3 τμήματα. Αν έστω ένα από τα τμήματα αυτά χρωματιστεί μαύρο, σχηματίζεται ‘μαύρο’ τρίγωνο. Αν έστω ένα χρωματιστεί πράσινο, σχηματίζεται ‘πράσινο’ τρίγωνο. Πρέπει επομένως να χρωματιστούν και τα 3 με κόκκινο, αλλά τώρα πλέον έχουμε ένα ‘κόκκινο’ τρίγωνο.
Συμπέρασμα: πάντα θα υπάρχει μονοχρωματικό τρίγωνο
Eξαιρετικά ακριβής και πλήρης απόδειξη, αγαπητέ Papadim! :-)
ΔιαγραφήΕυχαριστώ, αγαπητέ Jorge de Pájaros y Arroz.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝομίζω πάντως ότι με το ωραίο θεματολόγιό σου μας κάνεις να τα αγαπάμε τα μαθηματικά, αλλά από την άλλη το προοίμιό σου μας καταδικάζει στη μετριότητα, δυστυχώς. Εκτός κι αν έχεις κάτι άλλο να μισούν τα πάρα πολύ μεγάλα μυαλά ! -:)
Επιμένεις να μού χρεώνεις ρητά άλλων! Το Jorge de Pájaros y Arroz είναι καλλιτεχνικό ψευδώνυμο γνωστού Βάσκου διανοητή και μαθηματικού, του οποίου την ψευδωνυμία σέβομαι απόλυτα.
ΔιαγραφήΑλλά για να μην σε κακοκαρδίσω ,θα σου χαρίσω (τςς..!) μια απάντηση στο τι μισώ εγώ (ως Π.Π.Μ.Μ):
Mισώ λοιπόν αυτούς που μισούν κι όσους θέλουν να διαχωρίζουν τους ανθρώπους σε κατηγορίες! :-)
Συμφωνώ και επαυξάνω, χωρίς καθόλου να διεκδικώ δάφνες Π.Π.Μ.Μ. Συμπεραίνω πάντως ότι εκτός από τα παραπάνω, τα Π.Π.Μ.Μ μισούν θανάσιμα και τη μετριοφροσύνη. -:)
ΑπάντησηΔιαγραφήE, ναι! Kαι τη βεβαιότητα ,βεβαίως-βεβαίως! :lol:
Διαγραφή