Σε τρία δοχεία έβαλαν νερό, ακέραιο αριθμό λίτρων στο καθένα. Σε οποιοδήποτε δοχείο επιτρέπεται να ξαναρίξουμε από οποιοδήποτε άλλο δοχείο τόσο νερό, όσο ήδη περιέχεται σε αυτό. Μπορούμε με μερικές τέτοιες μεταγγίσεις να αδειάσουμε ένα από τα δοχεία; (Τα δοχεία είναι αρκετά μεγάλα καθένα μπορεί να χωρέσει τη συνολική ποσότητα νερού που χρησιμοποιούμε.)
5η Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 1971 (Ρίγα)
Μία διευκρίνηση, γιατί δεν είναι σαφές από την εκφώνηση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε οποιοδήποτε δοχείο επιτρέπεται να ξαναρίξουμε από οποιοδήποτε άλλο δοχείο τόσο νερό, όσο αρχικά περιέχεται σε αυτό, ή όσο υπάρχει εκείνη τη στιγμή;
Π.χ. αν σε ένα δοχείο περιέχονται 2 λίτρα, στη πρώτη μετάγγιση , μπορούμε να του ρίξουμε 2 λίτρα οπότε θα φθάσει στα 4. Σε τυχόν δεύτερη μετάγγιση μπορούμε να του ρίξουμε 2 λίτρα (αρχική ποσότητα), ή 4 λίτρα (τρέχουσα ποσότητα);
Έστω Α, Β, Γ τα τρία δοχεία και α, β, γ αντιστοίχως το περιεχόμενό τους σε αριθμό λίτρων νερού, από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να αδειάσει κάποιο δοχείο, αρκεί σε κάποιο βήμα της οριζόμενης διαδικασίας μεταγγίσεων, η ποσότητα που περιέχει να είναι ίση με την ποσότητα ενός από τα άλλα δοχεία, οπότε και το περιεχόμενο του πρώτου μεταγγίζεται εξ ολοκλήρου στο δεύτερο.
Επομένως, η περίπτωση δύο από τα δοχεία να έχουν εξ αρχής ίση ποσότητα νερού δε μας απασχολεί και εξετάζουμε τις γενικότερες περιπτώσεις άνισων ποσοτήτων, του τύπου α>β>γ.
1. Αν β=2γ ,τότε (α,β,γ) = (α,2γ,γ) (α-γ, 2γ,2γ) (α-γ, 4γ,0)
2. Αν β=3γ, τότε (α,β,γ) = (α,3γ,γ) (α, 2γ,2γ) (α, 4γ,0)
3. Αν β=4γ, τότε (α,β,γ) = (α,4γ,γ) (α-γ, 4γ,2γ) (α-3γ,4γ,4γ) (α-3γ, 8γ,0)
4. Αν β=5γ, τότε (α,β,γ) = (α,5γ,γ) (α, 4γ,2γ) (α-2γ,4γ,4γ) (α-2γ, 8γ,0)
5. Αν β=6γ, τότε (α,β,γ) = (α,6γ,γ) (α-γ, 6γ,2γ) και η περίπτωση ανάγεται στην περίπτωση 2 (β=3γ)
6. Αν β=7γ, τότε (α,β,γ) = (α,7γ,γ) (α, 6γ,2γ) και η περίπτωση ανάγεται στην περίπτωση 2 (β=3γ)
………………………………………………………………………………. κ.ο.κ.
Όπως φαίνεται από τα πιο πάνω , σε κάθε περίπτωση που η ποσότητα β είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της γ (β=ν*γ), υπάρχει κατάλληλη σειρά βημάτων - μεταγγίσεων, ώστε η διαδικασία να αναχθεί σε κάποια από τις προηγούμενες περιπτώσεις και να καταλήξει τελικά στο άδειασμα του δοχείου Γ.
Στις περιπτώσεις που δεν είναι εξαρχής της πιο πάνω μορφής β=ν*γ, διακρίνουμε 2 επιμέρους περιπτώσεις:
Ι. β+γ = 2κ, όπου κ=2,3,4,.. (δηλαδή β, γ ή και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί)
Στην περίπτωση αυτή, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι , ανεξάρτητα από τις αρχικές τιμές β και γ, μια διαδικασία επιτρεπόμενων διαδοχικών αλληλομεταγγίσεων μεταξύ των δοχείων Β και Γ φθάνει σε ένα σημείο, όπου τα περιεχόμενα των δοχείων Β και Γ είναι και στα δύο άρτιος αριθμός λίτρων, ενώ οι δυνατές διαμερίσεις της συνολικής ποσότητας β+γ=2κ στα δοχεία, ανάλογα και με την τιμή του κ, είναι της μορφής (Β,Γ) = (2κ-2, 2) ή (2κ-4, 4) ή (2κ-6, 6) ή (2κ-8, 8) κ.ο.κ. Π.χ. για β+γ=10=2κκ=5, ανάλογα και με τις τιμές των β και γ, θα συναντηθούν οι διαμερίσεις (Β,Γ) = (8,2), (6,4), (4,6), (2,8), ενώ για β+γ=12=2κκ=6, αντιστοίχως, θα συναντηθούν οι διαμερίσεις (Β,Γ) = (10,2), (8,4), (6,6), (4,8), (2,10) κ.λπ. Σε κάθε περίπτωση, με τη διαδικασία αυτή, είτε θα βρεθούν τα δοχεία Β και Γ με ίση ποσότητα νερού, είτε θα βρεθεί το ένα με ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας του άλλου, οπότε έτσι ή αλλιώς αναγόμαστε στην πιο πάνω ανάλυση των περιπτώσεων β=ν*γ.
ΙΙ. β+γ = 2κ+1, όπου κ=1,2,3,4,.. (δηλαδή β, γ ο ένας άρτιος κι ο άλλος περιττός)
Σε αυτή την περίπτωση, με τις αλληλομεταγγίσεις μεταξύ των δοχείων Β και Γ, πάντα το ένα από τα δοχεία θα έχει άρτιο και το άλλο περιττό αριθμό λίτρων, οπότε δεν εξασφαλίζεται γενικά η δυνατότητα αναγωγής στην περίπτωση β=ν*γ. Υπάρχει όμως η δυνατότητα προσθήκης οποτεδήποτε στο δοχείο με τον περιττό αριθμό λίτρων ίσης ποσότητας με την υπάρχουσα, με μετάγγιση από το τρίτο δοχείο (Α), οπότε και τα δύο δοχεία Β και Γ θα έχουν άρτιες ποσότητες λίτρων νερού. Έτσι και πάλι αναγόμαστε στην περίπτωση Ι και στην περίπτωση β=ν*γ.
Έστω Α,Β,Γ τα δοχεία τα οποία περιέχουν α,β,γ λίτρα νερό
ΑπάντησηΔιαγραφήαντίστοιχα και α<β<γ. Διαιρούμε το β με το α, άρα το β μπορεί
να εκφρασθεί ως β=να+υ, υ<α.
Ρίχνουμε νερό από το δοχεία Β, μέχρι να μέχρι να μεταφέρουμε
τα να λίτρα, και Γ (όποτε χρειάζεται) στο Α. Το Α θα περιέχει
διαδοχικά α, 2α, 4(=2^2)α, 8(=2^3)α,...,(2^κ)α λίτρα νερού.
Το ν(*α) ως φυσικός αριθμός, μπορεί να εκφρασθεί σε κάθε
περίπτωση ως άθροισμα κάποιων από τα (1,2,4,8,...2^κ )(*α), τα
οποία και ρίχνουμε σταδιακά στα Α, ότι λείπει το παίρνουμε από
το Γ (π.χ ν=11=1+2+8. Ρίχνουμε από το Β α, 2α, τα 4α από το Γ
και τα 8α λίτρα πάλι από το Β).
Έτσι έχουμε στο Β υ, στο A (2^ki)α και στο Γ, γ- ότι αφαιρέσαμε.
Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία μεταξύ του δοχείου του έχοντος
τα κάθε φορά υ λίτρα και του έχοντος τα λιγότερα από τα άλλα
δύο δοχεία, μέχρι που το υπόλοιπο, που συνεχώς μειώνεται, γίνει μηδέν(0) Το περιεχόμενο αυτού του δοχείου μπορεί να εκφρασθεί ως υ(το προηγούμενο υπόλοιπο)*(2^κ+λ). Τα λυ λίτρα τα μεταγγίζουμε στο δοχείο με τα υ λίτρα και όσα και όπως
χρειασθούν μέχρι τα δύο αυτά δοχεία να έχουν υ*(2^κ) λίτρα τα
παίρνουμε από το 3ο δοχείο. Αδειάζουμε το περιεχόμενο του ενός στο άλλο.