Η Βάσω και ο Αλέκος κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση σε δρόμους παράλληλους μεταξύ τους που απέχουν μεταξύ τους 200 μέτρα. Ο Αλέκος έχει ταχύτητα 3 μέτρα το δευτερόλεπτο και η Βάσω 1 μέτρο το δευτερόλεπτο. Ένα ψηλό κυκλικό κτίριο διαμέτρου 100 μέτρων βρίσκεται στο κέντρο της απόστασης των δύο δρόμων. Τη στιγμή που το κτίριο εμποδίζει την ευθεία οράσεως μεταξύ τους, η Βάσω και ο Αλέκος έχουν απόσταση μεταξύ τους 200 μέτρα. Έστω
ο χρόνος (σε δευτερόλεπτα) που απαιτείται για να μπορέσει ο Αλέκος και δει τη Βάσω πάλι. Αν ο αριθμός
γραφτεί ως ανάγωγο κλάσμα, ποιο είναι το άθροισμα αριθμητή και παρονομαστή;
Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 1992
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Οι 2 διαδρομές ,Βάσως και Αλέκου ορίζουν ένα τραπέζιο με μεγάλη,μικρή βάσεις ίσες με 3t kai t αντίστοιχα και ύψος υ=200 (που αντιστοιχεί σε 4*50μ. (2*50=2*ρ κτιρίου). Η τέταρτηυ πλευρά αυτού του τραπεζίου αντιστοιχεί στην "οπτική γραμμή" όταν μόλις αποκαθίσταται ,άρα εφάπτεται του κύκλου ρ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροκύπτει λοιπόν το μικρό-εσωτερικό τραπέζιο που είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο ρ του κτιρίου, και έχει ύψος 2*50, μικρή πλευρά=50+(3/2)t-50 και μεγάλη πλευρά=50+(3/2)t-50 +50 (προκύπτουν εύκολα από τις διαμέσους των τραπεζίων και τις ανά 50μ. αποστάσεις).
Η εφαπτόμενη "οπτική γραμμή" παράγει 2 εφατόμενες στον κύκλο ρ γραμμές που ισούνται αντίστοιχα ανα μία με (3/2)t-50 και (3/2)t-50+50=(5/2)τ-50. (εφαπτόμενες από σημεία εκτός κύκλου(κορυφές μικρού τραπεζίου επί της "οπτ.γραμμής")= ίσες)
Άρα τελικά προκύπτει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με καθέτους 100(2*50) και t ,και υποτείνουσα (5/2)t-50 +(3/2)t-50 = 4t-100
Έχουμε: t^2+100^2=(4t-100)^2
... t=4*(4t-200)
15t=800
t=800/15=160/3
Σ(αρ+παραν.)=163
(
συνήθως βαριέμαι την ευκλ.γεωμετρία, αλλά το συγκεκριμένο πρόβλημα "φυσικόαλγεβρόφερνε" και μού φάνηκε ενδιαφέρον. Ελπίζω να το έχω λύσει σωστά! :-) )
Παραδρομή στη σειρά 13.του παραπάνω σχολίου:
ΑπάντησηΔιαγραφήAντί για: "..και (3/2)t-50+50=(5/2)τ-50" το σωστό είναι: "..και (3/2)t-50+t = (5/2)t-50 "