▪ Ένα λάθος θεώρημα

Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με  ΑΒ=ΔΕ, ΑΓ=ΔΖ και τις γωνίες ΑΒΓ= ΔΕΖ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. 

Απόδειξη

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΑΗΓ όπως φαίνεται στο σχήμα με τις γωνίες ΗΑΓ = ΕΔΖ και ΑΗ = ΔΕ. Τότε τα τρίγωνα ΑΗΓ και ΔΕΖ είναι ίσα (δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίσες) , άρα οι γωνίες  ΑΒΓ=ΑΗΓ=ΔΕΖ και ΑΒ=ΑΗ.  

Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΗ έχουμε γωνίες ΑΒΗ=ΑΗ , οπότε  οι γωνίες ΓΒΗ=ΓΗΒ , άρα το τρίγωνο ΓΒΗ είναι ισοσκελές, άρα ΓΒ=ΓΗ.

Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΗΓ είναι ίσα (τρεις πλευρές ίσες) άρα και τα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι ίσα.

Από το άρθρο “Ποιο είναι το λάθος;” του I.F. Sharygin στο περιοδικό QUANTUΜ, τεύχος Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου 1998