Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 3η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \dfrac{x^2 +αx + β}{(x- 1)(x^2 - 4x +4)}$

για την οποία ισχύει 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} f(x)=8$.

I) Να δείξετε ότι $α = 6$ και $β = -7$. 

II) Να υπολογίσετε το όριο 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{f^2(x) - 3f(x) - 41 + \mid{f(x) - 1}\mid}{\sqrt{f(x) + 9} - 3}$

III) Υπολογίστε το όριο

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} [(f(x) - 8)ημ\dfrac{1}{x - 1}]$

IV) Αν επιπλέον ισχύει $f(x) + g(x)\leq0$, κοντά στο 2, να βρείτε το όριο $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} g(x)$.

V) Να υπολογίσετε το όριο 

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2}[\dfrac{x^2 + 6x - 7}{(x - 1)(x^2 -4x +4)} + ημ\dfrac{1}{x^2 - 4}]$