Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [10]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x}},& x<0\\ \ln (e^x+x),& x\ge 0\end{array}$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια: 

• i) στο πεδίο ορισμού της. 
• ii) στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$.  

 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\mathrm{\infty },0)$ και γνησίως αύξουσα στο $[0,+\mathrm{\infty })$. 

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με την ευθεία $y=x$.

ε) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha >0$, η εξίσωση 

${\displaystyle \frac{e^{f(x)}-f(x)}{x}}+{\displaystyle \frac{f(x)}{x-\alpha }}=0$ 

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $(0,\alpha )$. 

στ) Να λύσετε την εξίσωση 

$f(e^{x^2}-1)+f(|x|-|\eta \mu x|)=0$. 

 ζ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.