Πώς το Άθροισμα των Εμβαδών των Τριγώνων Δίνει το Εμβαδόν του Κύκλου;

Ένας από τους πιο κομψούς τρόπους για να κατανοήσουμε το εμβαδόν του κύκλου είναι να το προσεγγίσουμε με τρίγωνα. Αντί να χρησιμοποιήσουμε απευθείας τον τύπο

$A=\pi r^2$

ας δούμε πώς μπορούμε να τον προκύψουμε διαισθητικά!

Η Ιδέα: "Ξεδιπλώνοντας" τον Κύκλο

Ας φανταστούμε ότι κόβουμε έναν κύκλο ακτίνας $r$ σε πολλά πολύ λεπτά τριγωνικά τμήματα, σαν φέτες πίτσας. Αν πάρουμε έναν πολύ μεγάλο αριθμό από τέτοιες φέτες, μπορούμε να τις αναδιατάξουμε έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα σχήμα που μοιάζει με τρίγωνο.

Τι συμβαίνει με τις βάσεις και τα ύψη των τριγώνων;

• Κάθε τριγωνικό τμήμα έχει ως βάση ένα μικρό τόξο του κύκλου.
• Αν πάρουμε όλες τις βάσεις μαζί, το συνολικό τους μήκος θα είναι περίπου ίσο με την περίμετρο του κύκλου, δηλαδή 2πr
• Το ύψος κάθε τριγώνου είναι περίπου ίσο με την ακτίνα $r$.

Ο Υπολογισμός του Εμβαδού

Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο: 

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (\beta ά\sigma \eta )\times (ύ\psi o\varsigma )$

Εδώ, αν θεωρήσουμε ότι το νέο σχήμα είναι περίπου τρίγωνο με:

• Συνολική βάση ίση με την περίμετρο του κύκλου: $2\pi r$
• Ύψος ίσο με την ακτίνα $r$

τότε: 

$A=12\times (2\pi r)\times r=\pi r^2$

που είναι ακριβώς το εμβαδόν του κύκλου!