Κατασκευές με τα ψηφία 1, 2 και 3

Το ζητούμενο είναι να κατασκευάσουμε ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τα ψηφία $1$, $2$ και $3$, καθώς και τις μαθηματικές πράξεις πρόσθεση ($+$), αφαίρεση ($-$), πολλαπλασιασμό ($\times$) και ύψωση σε δύναμη (^).

Δεν επιτρέπεται η απλή παράθεση ψηφίων για τη δημιουργία πολυψήφιων αριθμών (π.χ. ο αριθμός 12 δεν μπορεί να σχηματιστεί γράφοντας $1$ και $2$ μαζί).

Πρόκληση:

Βρείτε τις βέλτιστες αναπαραστάσεις για τους αριθμούς $40,61,263$ και $500$, χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο δυνατό αριθμό ψηφίων $1,2$ και $3$.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα για την αναπαράσταση του $40$:

• Μία πιθανή λύση:

$40=(3+1)\times (3+1)\times 2+(3+1)+(3+1)$

Απαιτεί $9$ ψηφία: $3,1,3,1,3,1,3,1\to 9$.

• Βελτιστοποιημένη λύση:

$40=(3+2)\times (3+1)\times 2$

Αποτελείται από τα ψηφία: $3,2,3,1,2\to 5$ ψηφία