Το Θεώρημα του Marden και η Έλλειψη του Steiner

Θεώρημα

Έστω ότι έχουμε ένα κυβικό πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές: $$f(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$$ όπου $z_1,z_2,z_3$ είναι οι κορυφές ενός μη εκφυλισμένου τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.

Τότε, οι ρίζες της παραγώγου του πολυωνύμου: $$f^{\prime }(z)=(z-z_2)(z-z_3)+(z-z_1)(z-z_3)+(z-z_1)(z-z_2)$$ είναι οι εστίες της μοναδικής έλλειψης που μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνο $ABC$ και να εφάπτεται στις πλευρές του στα μέσα τους.

Το θεώρημα αποδίδεται στον Morris Marden, ο οποίος το διατύπωσε το $1945$. Ωστόσο, είχε ήδη αποδειχθεί από τον Jörg Siebeck τον 19ο αιώνα.

Η έλλειψη αυτή είναι γνωστή ως \textbf{έλλειψη του Steiner} και βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο $ABC$, αγγίζοντας τις πλευρές του στα μέσα τους. Οι εστίες της έλλειψης αυτής είναι οι ρίζες της παραγώγου $f^{\prime }(z)$.

Το Θεώρημα του Marden αποτελεί ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της σχέσης μεταξύ μιγαδικής ανάλυσης και γεωμετρίας. Δείχνει πώς οι ρίζες ενός πολυωνύμου αποκαλύπτουν κρυμμένες γεωμετρικές δομές.