Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 52ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο
Έστω  διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε οι εξισώσεις  και  να έχουν κοινή πραγματική ρίζα, όπως και οι εξισώσεις  και  Να βρεθεί το άθροισμα .

ΘΕΜΑ 2ο

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακεραίων αριθμών  τέτοια, ώστε 

ΘΕΜΑ 3ο

Οι κύκλοι  και  τέμνονται στα σημεία  και  Η κοινή εφαπτομένη τους από την πλευρά του  εφάπτεται στον  στο  και στον  στο 

Η ευθεία  τέμνει τον  για δεύτερη φορά, στο  Αν  το μέσο της χορδής  να δείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα διαγωνισμό συμμετέχουν  μαθητές. Δόθηκαν για λύση τέσσερα προβλήματα. Κάθε πρόβλημα είτε λύθηκε από κάποιο μαθητή είτε όχι.

Να δείξετε ότι είτε υπάρχουν υπάρχουν τέσσερις μαθητές που έλυσαν ακριβώς τα ίδια προβλήματα (ίσως και κανένα) είτε υπάρχουν δύο μαθητές από τους οποίους ο ένας έλυσε όσα προβλήματα δεν έλυσε ο άλλος.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica