Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 34ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Να δείξετε ότι

 

για όλους τους θετικούς ακεραίους 

ΘΕΜΑ 2ο

Να προσδιορίσετε τα σύνολα  και  αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

 αν  τότε 

 αν  τότε 

ΘΕΜΑ 3ο

Τα σημεία  βρίσκονται, με αυτή τη σειρά, στην περιφέρεια κύκλου  Η  είναι κάθετη στην  και η  στην  Το σημείο  βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, ανάμεσα στα  και  Η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της  στο  και η  , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της  στο 

Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του  και ότι η κοινή εφαπτομένη περνά από το κέντρο του 

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό συμμετείχαν 120 μαθητές από διάφορες ομάδες. Κατά την τελετή λήξης, κάθε μαθητής έδωσε ένα αναμνηστικό σε κάθε άλλο συμμετέχοντα από την ίδια ομάδα, καθώς και ένα αναμνηστικό σε έναν συμμετέχοντα από κάθε άλλη ομάδα.

Δεδομένου ότι δόθηκαν συνολικά 3840 αναμνηστικά, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ομάδων που συμμετείχαν στο διαγωνισμό;

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica